\extitle{10}{双线性函数与辛空间}

\section{作业题}

\begin{exercise}
    课本中我们对任一组给定基做Gram-Schmidt正交化过程来得到一组标准正交基的。
      请利用向量空间上的双线性函数在不同基下的矩阵是合同的
      （练习~\ref{08C}）来证明欧氏空间总有标准正交基。
\end{exercise}

\begin{solution}

  设基$\BB$的度量矩阵为$A$. 
      那么$A$是正定矩阵。
      这样存在可逆矩阵$P$使得$P^{\rT}AP=E$.
      因此基$\BB P$的度量矩阵为$E$, 即$\BB P$是标准正交基。
\end{solution}



\section{补充题和考研题} 

\begin{exercise}
  设$V$是有限维$\FF$-向量空间，$\symbf{B}=(e_1, \cdots, e_n)$是其一组基。
  $V$上的线性函数$f\colon V\rightarrow \FF$构成的向量空间记为$V^*$（称为$V$的\emph{对偶空间}）。
  对$i=1,\cdots,n$, 定义线性函数
  \[
    e_i^*\colon V\rightarrow \FF, e_j\mapsto \delta_{ij}.
  \]
  证明$\symbf{B}^*=(e_1^*, \cdots, e_n^*)$构成$V^*$的一组基（称为$\symbf{B}$的\emph{对偶基}）。这样我们有线性同构
  \[
      (-)^*\colon V\rightarrow V^*, e_i\mapsto e_i^*.
    \]
特别地，$\dim V=\dim V^*$.
\end{exercise}

\begin{solution}

  设$f\colon V\rightarrow \FF$是线性函数。
  对$v=\sum_{i=1}^n a_i e_i\in V$, 我们有$e_j^*(v) = a_j$. 这样
  \[
    f(v) = \sum_{i=1}^n a_i f(e_i) = \sum_{i=1}^n f(e_i) e_i^*(v),
  \]
  即$f=\sum_{i=1}^n f(e_i) e_i^*$. 所以$\symbf{B}^*=(e_1^*,\cdots, e_n^*)$生成$V^*$.
  令$\sum_{i=1}^n a_i e_i^*=0$. 两边对$e_j$取值可知$a_j=0$. 这样$\symbf{B}^*$线性无关。从而$\symbf{B}^*$是$V^*$的一组基。
\end{solution}


\begin{exercise}
  设$V$是有限维向量空间，$\varphi\in \End(V)$在基$\symbf{B}$下的矩阵为$A$. 
  $\varphi$诱导了$\varphi^*\in \End(V^*)$使得$\varphi^*(f)=f\circ \varphi$, 即我们有交换图
  \[
    \begin{tikzcd}
      V\ar[r, "\varphi"] \ar[dr, "\varphi^*(f)"'] & V\ar[d, "f"]\\
       & k.
    \end{tikzcd}
  \]
  证明$\varphi^*$在对偶基$\symbf{B}^*$下的矩阵为$A^{\rT}$. 
\end{exercise}

\begin{solution}

  设$\symbf{B}=(e_1, \cdots, e_n)$. 
  那么$\varphi(e_i)=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_j$. 
我们有
\begin{align*}
  \left( \varphi^*(e_i^*) \right)(e_j) 
  = \left( e_i^*\circ \varphi \right)(e_j) 
  = e_i^*\left( \varphi(e_j) \right) 
  = e_i^*  \left( \sum_{k=1}^n a_{kj}e_k \right) 
  = a_{ij}.
\end{align*}
这样$\varphi^*(e_i^*) = \sum_{j=1}^n a_{ij} e_j^*$. 
所以$\varphi^*$在基$\symbf{B}^*=(e_1^*, \cdots, e_n^*)$下的矩阵为$A^{\rT}$.
\end{solution}

\begin{exercise}\label{08C}
  设$f\colon V\times W\rightarrow \FF$是双线性函数，
  其中$V, W$为有限维$\FF$-向量空间。
  再设$f$在$V, W$的基$\symbf{B}, \symbf{C}$下的矩阵为$A$, 
  在$V, W$的基$\symbf{B}', \symbf{C}'$下的矩阵为$A'$.
  证明$A'=P^{\rT} A Q$, 其中$P, Q$分别为$\symbf{B}$到$\symbf{B}'$的基变换矩阵
  和$\symbf{C}$到$\symbf{C}'$的基变换矩阵。

  特别地，若$V=W$, $\symbf{B}=\symbf{C}$, 
  $\symbf{B}'=\symbf{C}'$, 则$P=Q$, 从而$A'=P^{\rT} A P$. 
  这样$V$上的双线性函数在不同基下的Gram矩阵是合同的。
\end{exercise}

\begin{solution}

  设$\symbf{B}=(v_1, \cdots, v_n)$和$\symbf{C}=(w_1, \cdots, w_n)$分别为$V, W$的基，
  则$A=(f(v_i, w_j))$为$f$在这两组基的下的矩阵。
      若$v\in V$（转：$w\in W$）在基$\symbf{B}$ （转：$\symbf{C}$）下的坐标向量为$x$ （转：$y$）， 
      则由$f$的双线性可知$f$可表达为
      \[
        f(v, w)= x^{\rT} Ay.
      \]
      若$\symbf{B}'=\symbf{B}P$ （转：$\symbf{C}'=\symbf{C}Q$）为$V$, （转：$W$）的又一组基，
    则
    $v$ （转：$w$）在基$\symbf{B}'$ （转：$\symbf{C}'$）下的坐标向量为$P^{-1}x, Q^{-1}y$.
      此时
      \[
       x^{\rT} A y= f(v, w)=(P^{-1}x)^{\rT} A' (Q^{-1}y).
      \]
      所以$A=(P^{-1})^{\rT} A' Q^{-1}$, $P^{\rT} AQ=A'$.
\end{solution}


\begin{exercise}
  设$V$是有限维$\FF$-向量空间。
  列举$V$上的双线性型的性质使得该性质可以用该型的Gram矩阵的性质来定义
  （即不依赖于基的选取，不同基下的Gram矩阵具有同一性质）。
\end{exercise}

\begin{solution}
  双线性型的Gram矩阵在$V$的不同基下是合同的，
  只要矩阵的性质在合同变换下不变即可。
  例如：可逆（通常称该型``非退化''），对称，斜称。
  基域是实数域的话，再比如：正定，半正定，负定，半负定。
\end{solution}

\begin{exercise}
  证明：有限维$\FF$-向量空间$V$上的双线性型$f\colon V\times V\rightarrow \FF$可分解为
  两个线性函数之积，即$f(v, w)=f_1(v) f_2(w)$, 对任意的$v, w\in V$,
当且仅当$f$的矩阵的秩小于等于$1$.
\end{exercise}

\begin{solution}

  取$V$的基$(v_1, \cdots, v_n)$.   
  设$f$在基$(v_1, \cdots, v_n)$下的矩阵为$C=(c_{ij})$. 这样$c_{ij}=f(v_i, v_j)$, 且对任意的$v, w\in V$
  \[
    f(v,w)=x^{\rT}Cy,
  \]
  其中$x, y$分别为$v, w$的坐标向量。
  $\rank C\leqslant 1$当且仅当存在两个行向量$\alpha, \beta$使得$\alpha^{\rT} \beta=C$. 

  ($\Rightarrow$) 
设线性函数$f_1\colon V\rightarrow \FF, f_2\colon V\rightarrow \FF$在所取基下的矩阵（行向量）分别为
$\alpha, \beta$, 亦即$f_1(v)= \alpha x, f_2(w)=\beta y$,其中$x,y$为$v,w $的坐标向量。
这样对任意的$v,w\in V$有
\[
  x^{\rT} C y= f(v,w) = \alpha x \beta y=(\alpha x)^{\rT} \beta y=x^{\rT}  (\alpha^{\rT} \beta) y.
\]
从而$C=\alpha^{\rT} \beta$. 故$\rank C\leqslant 1$.

  ($\Leftarrow$) 设$C=\alpha^{\rT} \beta$, 其中$\alpha, \beta\in \FF^{n}$. 
  那么对任意的$v, w\in V$有
  \[
    f(v, w)=x^{\rT} C y=(\alpha x)^{\rT} (\beta y),
  \]
  其中$x, y$为$v, w$的坐标向量。
  这样$f_1(v)= \alpha x$, $f_2(w)= \beta y$ 定义出的线性函数$f_1, f_2$就是我们想要的。 
\end{solution}


\begin{exercise}
  设$f\colon V\times V\rightarrow \RR$是有限维实向量空间$V$上的双线性函数。
  假设对任意的$u, v, w\in V$都有
  \[
    f(v,w)f(u,v)=f(w,v)f(v,u).
  \]
  证明$f$对称或斜称，即$f$的Gram矩阵是对称的或斜称的。
\end{exercise}

\begin{solution}

  取$V$的一组基$(v_1, \cdots, v_n)$，设$f$在该基下的矩阵为$A$, 即$A=(f(v_i, v_j))$.
  若$u, v, w\in V$在所取基下的坐标向量分别为$x, y, z$, 则
  \[
    f(v, w)f(u, v)=f(w, v)f(v, u)
  \]
  表明
  \[
    (y^{\rT} A z) (x^{\rT} A y) = (z^{\rT} A y) (y^{\rT} A z), 
  \]
  从而
  \[
    (z^{\rT} A^{\rT} y) (y^{\rT} A^{\rT} x) = (z^{\rT} A y) (y ^{\rT} A z).
  \]
  由坐标向量$x, z$的任意性可知
  对任意的$y\in \FF^{(n)}$有
  \[
    A^{\rT} (y y^{\rT}) A^{\rT}  = A (y y^{\rT} ) A.
  \]
  设$A=(a_{ij}), y=(y_1, \cdots, y_n)$, 则 
  上式相当于
  \[
    \sum_{k,l} a_{ki} y_k y_l a_{jl} = \sum _{k,l }a_{ik} y_k y_l a_{lj}.
  \]
把等号两边看作是关于$y$的二次型，那么我们有
\begin{align*}\tag{$*$}
  a_{ki} a_{jk} &=  a_{ik} a_{kj}, \\
  a_{ki} a_{jl} + a_{li } a_{jk} &=  a_{ik} a_{lj} + a_{il} a_{kj}, \quad\text{若$k\neq l$}.
  \tag{$**$}
\end{align*}
对($*$)取$k=j$得
\[
  a_{ji} a_{jj}=a_{ij} a_{jj}. 
\]
若有某个$a_{jj}\neq 0$, 那么$a_{ji}=a_{ij}$, 从而$A$的第$k$行是第$k$列的转置。
对($**$)取$j=k$再重记$l$为$j$可知$k\neq j$时有
\[\tag{$***$}
  a_{ki} a_{kj} + a_{ji} a_{kk}  = a_{ik} a_{jk} + a_{ij} a_{kk}.
\]
若$a_{kk}\neq 0$, 则$a_{ki}=a_{ik}, a_{kj}=a_{jk}$, 进而$(a_{ji}-a_{ij})a_{kk}=0$, 
故$j\neq k$时也有$a_{ji}=a_{ij}$. 这样有某个$a_{kk}\neq 0$时$A$是对称的。
下面设$A$非对称（特别地，所有的对角元素为$0$）， 
不妨设$a_{k_0i_0} \neq a_{i_0k_0}$. 
此时($***$)相当于
\[
  a_{ki} a_{kj} =a_{ik} a_{jk}.
\]
与($*$)相加得
\[
  (a_{ki}-a_{ik})(a_{jk}+a_{kj})=0.
\]
这样$a_{jk_0}+a_{k_0j}=0$, 
特别地，$a_{i_0k_0}=-a_{i_0k_0}\neq 0$. 
交换下$k, l$的角色，我们亦有
\[
  (a_{ik}-a_{ik})(a_{ji}+a_{ij})=0,
\]
进而亦有$a_{ji_0}+a_{i_0j}=0$. 
对($**$)取$i=i_0, k=k_0$可得
\[
  a_{k_0i_0}a_{jl} + a_{li_0 } a_{jk_0} =  a_{i_0k_0} a_{lj} + a_{i_0l} a_{kj_0}.
\]
由于$a_{li_0} + a_{i_0 l}=0, a_{j k_0}+ a_{kj_0}=0$, 我们有
\[
  a_{k_0i_0} a_{jl} =a_{i_0k_0} a_{lj}.
\]
进而$a_{jl}=-a_{lj}$.
这样$A$是斜称的。
\end{solution}



\begin{exercise}
  求实向量空间$M_n(\RR)$上的双线性型$(A, B)=\tr AB$的符号差。
\end{exercise}


\begin{solution}
  注意到$(e_{ij}, e_{kl})=1$当且仅当$(i,j)=(l,k)$, 否则$(e_{ij}, e_{kl})=0$.
  所以我们考虑如下排序的$M_n(\RR)$的基：$(e_{11}, \cdots, e_{nn}, \cdots, e_{ij}, e_{ji},\cdots)$.
  我们有$M_n(\RR)=\RR e_{11}\perp \cdots \perp \RR e_{nn} \perp \cdots \perp \Span(e_{ij}, e_{ji}) \perp \cdots$.
  所给型在$\RR_{e_{ii}}$上的限制的矩阵为$1$, 而在$\Span(e_{ij}, e_{ji})$上的限制的矩阵为$\begin{pmatrix}
    0 & 1\\ 1 & 0
  \end{pmatrix}$. 
  进而所给型的矩阵在所取基下的矩阵为$I_n\oplus \cdots \oplus \begin{pmatrix} 
    0 & 1\\ 1 & 0
  \end{pmatrix} \oplus \cdots.$
  由于$\begin{pmatrix}
    0 & 1\\ 1 & 0
  \end{pmatrix}$的符号差为$0$, 所给型的符号差为$n$.
\end{solution}


\begin{exercise}
  设$g, h$是 $n$维欧氏空间$V$上的两个对称双线性型，$h$非退化。
  如下定义$V$上的线性变换$\varphi$:
  \[
    g(v, w)=h(v, \varphi(w)),\quad \text{对任意的~}v, w\in V.
  \]
假设$\varphi$有$n$个线性无关的特征向量。可否
断定$g, h$可同时对角化（即存在$V$的基使得$g, h$的方阵都是对角阵）？
\end{exercise}


\begin{solution}
  取$\varphi$的$n$个线性无关的特征向量作为$V$的基，记为$\bB$.
  令$A$为对称双线性型$g$在该基下的Gram矩阵，$B$为对称双线性型$h$在该基下的Gram矩阵；
  当然$A, B$都是对称矩阵。
  令$C=\diag(\lambda_1 E_{s_1}, \cdots, \lambda_r E_{s_r})$为$\varphi$在该基下的矩阵，
  其中$i\neq j$时$\lambda_i\neq \lambda_j$. 
  若$v, w\in V$在基$\bB$下的坐标向量分别为$x,y$, 那么
  $g(v, w)=h(v, \varphi(w))$相当于$x^{\rT} A y = x^{\rT} B (Cy)$. 
  由$v, w$的任意性可知其坐标向量$x,y$的任意性，故$A=BC$. 
  由$A, B, C$都对称可知$BC=CB$. 
\end{solution}




\begin{exercise}
设 $l_{1}, \cdots, l_{k}$ 是数域 $\bF$ 上的线性空间 $V$ 上的线性函数。 
如果 $l_{1}(x) \times \cdots \times l_{k}(x)=0$ 对一切 $x \in V$, 
那么这些函数中的一个是零函数。
\end{exercise}

\begin{solution}
\fangfa 令 $V_{i}=\ker l_{i}$, 那么 $V_{i}$ 为 $V$ 的子空间。
定义 $V$ 上函数 $f(x)=\prod_{i=1}^k l_i(x)$.
我们有 $f^{-1}(0)= V_{1} \cup \cdots \cup V_{k}$.
此时由题设有 $\cup_{i=1}^k V_{i}=V$. 这样由练习 \ref{0C4}
知某个 $V_{i}=V$.  故相应的 $l_{i}=0$. 

  \fangfa*   由于$\bF$是无限域，
  多项式函数 $f=\prod_{i=1}^k l_i$在多项式环$\bF[V]$上的延拓为零多项式
  (无限域上形式多项式与多项式函数的对应是一一对应~\parencite[练习5.1.1]{COL15})。
  $f$ 的延拓是这些线性函数 $l_i$ 的延拓的乘积，
  于是多项式环 $\bF[V]$是整环表明某个 $l_i$ 在 $\bF[V]$ 上的延拓是零多项式。
  因此$l_i= 0$.
\end{solution}



\begin{exercise}
  证明：有限维$\FF$-向量空间$V$上的双线性型$f\colon V\times V\rightarrow \FF$可分解为
  两个线性函数之积，即$f(v, w)=f_1(v) f_2(w)$, 对任意的$v, w\in V$,
当且仅当$f$的矩阵的秩小于等于$1$.
\end{exercise}

\begin{solution}

  取$V$的基$(v_1, \cdots, v_n)$.   
  设$f$在基$(v_1, \cdots, v_n)$下的矩阵为$C=(c_{ij})$. 这样$c_{ij}=f(v_i, v_j)$, 且对任意的$v, w\in V$
  \[
    f(v,w)=x^{\rT}Cy,
  \]
  其中$x, y$分别为$v, w$的坐标向量。
  $\rank C\leqslant 1$当且仅当存在两个行向量$\alpha, \beta$使得$\alpha^{\rT} \beta=C$. 

  ($\Rightarrow$) 
设线性函数$f_1\colon V\rightarrow \FF, f_2\colon V\rightarrow \FF$在所取基下的矩阵（行向量）分别为
$\alpha, \beta$, 亦即$f_1(v)= \alpha x, f_2(w)=\beta y$,其中$x,y$为$v,w $的坐标向量。
这样对任意的$v,w\in V$有
\[
  x^{\rT} C y= f(v,w) = \alpha x \beta y=(\alpha x)^{\rT} \beta y=x^{\rT}  (\alpha^{\rT} \beta) y.
\]
从而$C=\alpha^{\rT} \beta$. 故$\rank C\leqslant 1$.

  ($\Leftarrow$) 设$C=\alpha^{\rT} \beta$, 其中$\alpha, \beta\in \FF^{n}$. 
  那么对任意的$v, w\in V$有
  \[
    f(v, w)=x^{\rT} C y=(\alpha x)^{\rT} (\beta y),
  \]
  其中$x, y$为$v, w$的坐标向量。
  这样$f_1(v)= \alpha x$, $f_2(w)= \beta y$ 定义出的线性函数$f_1, f_2$就是我们想要的。 
\end{solution}


\begin{exercise}
  设$f\colon V\times V\rightarrow \RR$是有限维实向量空间$V$上的双线性函数。
  假设对任意的$u, v, w\in V$都有
  \[
    f(v,w)f(u,v)=f(w,v)f(v,u).
  \]
  证明$f$对称或斜称，即$f$的Gram矩阵是对称的或斜称的。
\end{exercise}

\begin{solution}

  取$V$的一组基$(v_1, \cdots, v_n)$，设$f$在该基下的矩阵为$A$, 即$A=(f(v_i, v_j))$.
  若$u, v, w\in V$在所取基下的坐标向量分别为$x, y, z$, 则
  \[
    f(v, w)f(u, v)=f(w, v)f(v, u)
  \]
  表明
  \[
    (y^{\rT} A z) (x^{\rT} A y) = (z^{\rT} A y) (y^{\rT} A z), 
  \]
  从而
  \[
    (z^{\rT} A^{\rT} y) (y^{\rT} A^{\rT} x) = (z^{\rT} A y) (y ^{\rT} A z).
  \]
  由坐标向量$x, z$的任意性可知
  对任意的$y\in \FF^{(n)}$有
  \[
    A^{\rT} (y y^{\rT}) A^{\rT}  = A (y y^{\rT} ) A.
  \]
  设$A=(a_{ij}), y=(y_1, \cdots, y_n)$, 则 
  上式相当于
  \[
    \sum_{k,l} a_{ki} y_k y_l a_{jl} = \sum _{k,l }a_{ik} y_k y_l a_{lj}.
  \]
把等号两边看作是关于$y$的二次型，那么我们有
\begin{align*}\tag{$*$}
  a_{ki} a_{jk} &=  a_{ik} a_{kj}, \\
  a_{ki} a_{jl} + a_{li } a_{jk} &=  a_{ik} a_{lj} + a_{il} a_{kj}, \quad\text{若$k\neq l$}.
  \tag{$**$}
\end{align*}
对($*$)取$k=j$得
\[
  a_{ji} a_{jj}=a_{ij} a_{jj}. 
\]
若有某个$a_{jj}\neq 0$, 那么$a_{ji}=a_{ij}$, 从而$A$的第$k$行是第$k$列的转置。
对($**$)取$j=k$再重记$l$为$j$可知$k\neq j$时有
\[\tag{$***$}
  a_{ki} a_{kj} + a_{ji} a_{kk}  = a_{ik} a_{jk} + a_{ij} a_{kk}.
\]
若$a_{kk}\neq 0$, 则$a_{ki}=a_{ik}, a_{kj}=a_{jk}$, 进而$(a_{ji}-a_{ij})a_{kk}=0$, 
故$j\neq k$时也有$a_{ji}=a_{ij}$. 这样有某个$a_{kk}\neq 0$时$A$是对称的。
下面设$A$非对称（特别地，所有的对角元素为$0$）， 
不妨设$a_{k_0i_0} \neq a_{i_0k_0}$. 
此时($***$)相当于
\[
  a_{ki} a_{kj} =a_{ik} a_{jk}.
\]
与($*$)相加得
\[
  (a_{ki}-a_{ik})(a_{jk}+a_{kj})=0.
\]
这样$a_{jk_0}+a_{k_0j}=0$, 
特别地，$a_{i_0k_0}=-a_{i_0k_0}\neq 0$. 
交换下$k, l$的角色，我们亦有
\[
  (a_{ik}-a_{ik})(a_{ji}+a_{ij})=0,
\]
进而亦有$a_{ji_0}+a_{i_0j}=0$. 
对($**$)取$i=i_0, k=k_0$可得
\[
  a_{k_0i_0}a_{jl} + a_{li_0 } a_{jk_0} =  a_{i_0k_0} a_{lj} + a_{i_0l} a_{kj_0}.
\]
由于$a_{li_0} + a_{i_0 l}=0, a_{j k_0}+ a_{kj_0}=0$, 我们有
\[
  a_{k_0i_0} a_{jl} =a_{i_0k_0} a_{lj}.
\]
进而$a_{jl}=-a_{lj}$.
这样$A$是斜称的。
\end{solution}

\section{杂题}
